Cho M = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/3^4 + 1/3^6 +. . . + 1/3^802 — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Đặt $A = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ... + \frac{1}{{{3^{802}}}}$

Nhân hai vế của $A$ với ${3^2}$.

Lấy ${3^2}A - A$, so sánh với 1 để chứng minh $A < \frac{1}{8}$.

Từ đó chứng minh $M = \frac{1}{{{2^2}}} + A < \frac{3}{8}$

Đặt $A = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ... + \frac{1}{{{3^{802}}}}$

Ta có: ${3^2}.A = {3^2}.\left( {\frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ... + \frac{1}{{{3^{802}}}}} \right)$

$9A = 1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ... + \frac{1}{{{3^{800}}}}$

Suy ra

$9A - A = \left( {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ... + \frac{1}{{{3^{800}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + \frac{1}{{{3^6}}} + ... + \frac{1}{{{3^{802}}}}} \right)$

$8A = 1 - \frac{1}{{{3^{802}}}}$

Vì $1 - \frac{1}{{{3^{802}}}} < 1$ nên $8A < 1$, suy ra $A < \frac{1}{8}$.

Mà $M = \frac{1}{{{2^2}}} + A < \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ nên $M < \frac{3}{8}$.

Vậy $M < \frac{3}{8}$.