Cho P = 1/x - 1 + x/x^2 + x + 1 + 2x + 1/1 - X^3 với x khác — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc cộng các phân thức khác mẫu thức.

b) Thay $x = 2$ vào biểu thức sau khi rút gọn ở ý a để tính.

c) Chứng minh với $x > 0,\,x \ne 1$ thì tử thức và mẫu thức của $P$ đều lớn hơn 0.

a) Với $x \ne 1$ ta có:

$P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}$

$= \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1 + x\left( {x - 1} \right) - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1 + {x^2} - x - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}$.

b) Với $x = 2$ (thỏa mãn) thay vào biểu thức $P$ ta được: $P = \frac{{2 \cdot 2}}{{{2^2} + 2 + 1}} = \frac{4}{7}.$

c) Với $x > 0,x \ne 1$ ta có:

⦁ $2x > 0;$

⦁ ${x^2} + x + 1 = {x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.$

Do đó $P = \frac{{2x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0$.