Cho phương trình 3log 8[ 2x^2 - M + 3x + 1 - M ] + log — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Nếu $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$)

Điều kiện: ${x^2} - x + 1 - 3m > 0\left( * \right)$

$3{\log _8}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] = {\log _2}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right)$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m = {x^2} - x + 1 - 3m \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m = 0\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 2\end{array} \right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn (*)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m + 1 - 3m > 0\\{2^2} - 2 + 1 - 3m > 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 > 0\\3 - 3m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2 - \sqrt 3 \left( {**} \right)$

Theo giả thiết:

$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} < 225 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.2m < 225$

$\Leftrightarrow {m^2} - 4m - 221 < 0 \Leftrightarrow  - 13 < m < 17\left( {***} \right)$

Từ (**) và (***) ta có: $- 13 < m < 2 - \sqrt 3$.

Mà m là số nguyên nên $m \in \left\{ { - 12; - 11;...;0} \right\}$. Vậy có 13 giá trị của m thỏa mãn bài toán.