Cho tam giác \({\rm{ABC}},2\) trung tuyến \({\rm{BM}}\) và \({\rm{CN}}\) cắt nhau tại \({\rm{G}}\). Gọi \({\rm{D}},{\rm{E}}\) lần lượt là trung điểm \(GB\) và \(GC\). Chứng minh rằng: a) \({\rm{MN}}//{\rm{DE}}\) b) \({\rm{ND}}//{\rm{ME}}\)
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Tính chất: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
a) Chứng minh \(MN\parallel DE\) vì cùng song song với \({\rm{BC}}\)
b) Chứng minh được \({\rm{MN}} = {\rm{DE}}\) (sử dụng tính chất đường trung bình)
Chứng minh MNDE là hình bình hành suy ra điều phải chứng minh phần b.
a) Vì \({\rm{BM}},{\rm{CN}}\) là 2 trung tuyến của \(\Delta ABC\left( {{\rm{GT}}} \right)\)
Suy ra \({\rm{M}},{\rm{N}}\) lần lượt là trung điểm của \({\rm{AB}},{\rm{AC}}\left( {{\rm{tc}}} \right)\)
Suy ra \({\rm{MN}}\) là đường trung bình \(\Delta ABC\) nên \({\rm{MN}}\parallel {\rm{BC}}\) (1)
Vì D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC(GT) nên \({\rm{DE}}\) là đường trung bình của \(\Delta GBC\) nên \({\rm{DE}}\parallel {\rm{BC}}\) (2)
Từ (1) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow MN\parallel DE\) (ĐL 3 đường thẳng song song)
b) Vì \({\rm{MN}}\) là đường trung bình \(\Delta ABC\) nên \({\rm{MN}} = \frac{{BC}}{2}\) (tc)
Vì \({\rm{DE}}\) là đường trung bình của \(\Delta GBC\) nên \({\rm{DE}} = \frac{{BC}}{2}\) (tc)
Suy ra \({\rm{MN}} = {\rm{DE}}\) mà \({\rm{MN}}\parallel {\rm{DE}}\) (theo \({\rm{a}}\))
Do đó MNDE là hình bình hành \(\left( {{\rm{DHNB}}} \right)\) suy ra \({\rm{ND}}\parallel {\rm{ME}}\left( {{\rm{tc}}} \right)\)