Cho ΔABC cân tại A ( ˆA<90∘). Kẻ BD⊥ACtại D, kẻ CE⊥ABtại E.
a) Chứng minh: ΔADEcân.
b) Chứng minh: DE//BC .
c) Gọi I l à giao điểm của BD và CE. Chứng minh: IB=IC .
d) Chứng minh: AI⊥BC .
a) Chứng minh AD = AE nên tam giác ADE cân.
b) Chứng minh ^AED=^ABC (hai góc đồng vị) nên DE // BC.
c) Chứng minh tam giác BIC cân tại I nên IB = IC.
d) Chứng minh A và I cùng thuộc đường trung trực của BC nên AI⊥BC.
a) Xét ΔADBvà ΔAEC, có:
ˆA: chung
AB=AC(vì ΔABCcân tại A)
^ADB=^AEC=90∘(vì BD⊥ACtại D , CE⊥AB tại E)
Suy ra ΔADB=ΔACE(cạnh huyền-góc nhọn).
Suy raAD=AE(2 cạnh tương ứng).
Vậy ΔADEcân tại A .
b) Vì ΔABCcân tại A (gt)
Ta có: ^ABC=180o−ˆA2 (1)
Lại có: ΔAED cân tại A (câu a)
Nên ^AED=180o−ˆA2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒^AED=^ABC
Mà ^AED và ^ABC ở vị trí đồng vị.
Vậy DE//BC .
c) Có tia BD nằm giữa hai tia BA,BC.
Suy ra ^ABD+^DBC=^ABC
Suy ra ^DBC=^ABC−^ABD
Tương tự, có:
^ECB=^ACB−^ACE
Mà ^ABC=^ACB (do ΔABCcân tại A )
^ADB=^ACE ( vì ΔADB=ΔAEC )
Suy ra ^DBC=^ECB
Vậy ΔIBC cân tại I.
Suy ra IB=IC
d) Có: AB=AC (vì ΔABCcân tại A)
Do đóA thuộc đường trung trực của BC
Lại có: IB=IC(câu c)
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC
Suy ra AI là đường trung trực của BC
Suy ra AI⊥BC.