Cho \(\Delta ABC\) có \(AB < BC\). Trên tia BA lấy điểm D sao cho \(BC = BD\). Tia phân giác \(\widehat B\) cắt AC ở E. Gọi K là trung điểm của DC.
a) Chứng minh \(\Delta BED = \Delta BEC\).
b) Chứng minh \(EK \bot DC\).
c) Chứng minh B, K, E thẳng hàng.
d) Kẻ \(AH \bot DC,\left( {H \in DC} \right)\). \(\Delta ABC\) cần thêm điều kiện gì để \(\widehat {DAH} = {45^0}\).
a) Chứng minh \(\Delta BED = \Delta BEC\) theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
b) Chứng minh \(\Delta EKD = \Delta EKC\) \( \Rightarrow \widehat {{K_1}} = \widehat {{K_2}} = {90^0}\)
c) Chứng minh \(BK \bot DC\) và \(EK \bot DC\) nên B, K, E thẳng hàng.
d) Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song.
a) Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta BEC\) có:
BD = BC (gt)
\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))
BE chung
\( \Rightarrow \Delta BED = \Delta BEC\)(c.g.c) (đpcm)
\( \Rightarrow DE = EC\) (hai cạnh tương ứng)
b) Xét \(\Delta EKD\) và \(\Delta EKC\) có:
ED = EC (cmt)
EK chung
DK = KC (K là trung điểm của DC)
\( \Rightarrow \Delta EKD = \Delta EKC\)(c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {{K_1}} = \widehat {{K_2}}\)(hai cặp góc tương ứng)
Mà \(\widehat {{K_1}}\) và \(\widehat {{K_2}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{K_1}} = \widehat {{K_2}} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\) hay \(EK \bot DC\). (1) (đpcm)
c) Xét \(\Delta BKD\) và \(\Delta BKC\) có:
BD = BC (gt)
BK chung
DK = KC (K là trung điểm của DC)
\( \Rightarrow \Delta BKD = \Delta BKC\)(c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {BKD} = \widehat {BKC}\)(hai cặp góc tương ứng)
Mà \(\widehat {BKD}\) và \(\widehat {BKC}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BKC} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\) hay \(BK \bot DC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, E, K thẳng hàng. (đpcm)
d) Ta có: \(AH \bot DC\); \(BK \bot DC \Rightarrow AH//BK\)
\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_2}}\) (hai góc đồng vị).
Để \(\widehat {{A_1}} = {45^0}\) thì \(\widehat {{B_2}} = {45^0}\), mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {ABC} = {45^0}.2 = {90^0}\) hay tam giác ABC vuông tại B.
Vậy tam giác ABC tam giác cân tại B thì ta có \(\widehat {DAH} = {45^0}\).