Cho tam giác ABC có AB = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M — Không quảng cáo

Cho \(\Delta ABC\) có AB = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gọi M là trung điểm của BC Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt


Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) có AB = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt tại D, E.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$.

b) Tính độ dài các cạnh của \(\Delta MDC\).

c) Tính độ dài BE, EC.

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí Pythagore đảo để chứng minh \(\Delta ABC\) vuông.

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$

b) Vì M là trung điểm của BC nên tính được MC.

Từ phần a có $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ suy ra tỉ số của các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác để tính MD và CD.

c) Chứng minh $\Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$, tính được BE.

Chứng minh \(\Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)\) suy ra CE.

a) Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = {18^2} + {24^2} = 900 = {30^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MDC\), ta có:

\(\widehat A = \widehat M\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat C\) chung

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$ (đpcm)

b) Ta có: M là trung điểm của BC nên \(BM = CM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.30 = 15\left( {cm} \right)\)

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{AC}}{{MC}}\)

\(\frac{{18}}{{MD}} = \frac{{30}}{{CD}} = \frac{{24}}{{15}} = \frac{8}{5}\)

\( \Rightarrow MD = 18:\frac{8}{5} = 11,25\)

\(CD = 30:\frac{8}{5} = 18,75\)

c) Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\widehat M = \widehat A\left( { = {{90}^o}} \right)\)

\(\widehat B\) chung

$\Rightarrow \Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{AB}}\)

\(\frac{{BE}}{{30}} = \frac{{15}}{{18}} = \frac{5}{6} \Rightarrow BE = \frac{5}{6}.30 = 25\left( {cm} \right)\)

Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta CME\) có:

BM = CM (M là trung điểm của BC)

\(\widehat {BME} = \widehat {CME}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

ME chung

\( \Rightarrow \Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow BE = CE = 25cm\).