Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác AHD và tam giác ABH đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta AHE\backsim \Delta ACH$ suy ra $A{H^2} = AE.AC$

Dựa vào ý a suy ra $A{H^2} = AB.AD$, ta được điều phải chứng minh.

c) Dựa vào định lí Pythagore suy ra $C{A^2} - H{C^2} = A{H^2}$.

Chứng minh F là trung điểm của EC.

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để suy ra $A{F^2} - C{F^2} = A{H^2}$.

Ta được điều phải chứng minh.

a) Xét $\Delta AHD$ và $\Delta ABH$ có:

$\widehat {ADH} = \widehat {BHA} = {90^0}$

$\widehat {BAH}$ chung

nên $\Delta AHD\backsim \Delta ABH\left( g.g \right)$ (đpcm)

b) Xét $\Delta AHE$ và $\Delta ACH$ có:

$\widehat {AEH} = \widehat {AHC} = {90^0}$

$\widehat {HAC}$ chung

nên $\Delta AHE\backsim \Delta ACH\left( g.g \right)$

Suy ra $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$. Do đó $A{H^2} = AE.AC$ (1)

$\Delta AHD\backsim \Delta ABH\left( cmt \right)$ suy ra $\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$. Do đó $A{H^2} = AB.AD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB.AD = AC.AE$ (đpcm)

c) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ACH, ta có:

$C{A^2} - H{C^2} = A{H^2}$ (3)

Xét tam giác CHE có:

I là trung điểm của CH

$FI//EH\left( {FI \bot AC,HE \bot AC} \right)$

nên FI là đường trung bình của tam giác CHE.

Suy ra F là trung điểm của CE hay EF = FC.

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:

$\begin{array}{l}A{F^2} - C{F^2} = \left( {AF - CF} \right)\left( {AF + CF} \right)\\ = \left( {AF - EF} \right).AC\\ = AE.AC = A{H^2}\,(4)\end{array}$

Từ (3) và (4) suy ra $C{A^2} - H{C^2} = A{F^2} - C{F^2}$. (đpcm)