Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Chứng minh AHBK có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) Chứng minh $\Delta HAE\backsim \Delta HBF$ theo trường hợp góc – góc.

c) Chứng minh $\Delta AFC\backsim \Delta BEC$ (g.g) để chứng minh \(CE.CA = CF.CB\).

d) Gọi D là giao điểm KH và AB

Để tứ giác AHBK là hình thoi thì KH vuông góc AB

Ta có: H là trực tâm \( \Rightarrow \) CH vuông góc AB

\( \Rightarrow \) C, H, D thẳng hàng \( \Rightarrow \) CD là đường cao và D là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) CD cũng là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \) Tam giác ABC cân tại C

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AK \bot AC\\BE \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow AK//BE\)

\(\left. \begin{array}{l}BK \bot BC\\AF \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BK//AF\)

Xét tứ giác AHBK có:

\(\begin{array}{l}AK//BH\left( {H \in BE} \right)\\AB//AH\left( {H \in AF} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) AHBK là hình bình hành.

b) Xét \(\Delta HAE\) và \(\Delta HBF\) có:

\(\widehat E = \widehat F\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat {AHE} = \widehat {BHF}\) (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta HAE\backsim \Delta HBF$ (g.g) (đpcm)

c) Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\widehat F = \widehat E\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat C\) chung

$\Rightarrow \Delta AFC\backsim \Delta BEC\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CF}}{{CE}} \Rightarrow AC.CE = CF.CB\) (đpcm)

d) Gọi D là giao điểm của AB và HK \( \Rightarrow \) D là trung điểm của AB và HK.

Để AHBK là hình thoi thì \(AB \bot HK\).

Mà H trực tâm của tam giác ABC nên \(CH \bot AB\).

\( \Rightarrow \) C, H, K thẳng hàng hay C, H, D thẳng hàng.

Khi đó CD là đường cao của tam giác ABC.

Mà D là trung điểm của AB nên CD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) Tam giác ABC cân tại C.

Vậy để AHBK là hình thoi thì tam giác ABC cân tại C.