Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ . Trên $AH$ lấy các điểm $K,\,I$ sao cho $AK = KI = IH$ . Qua $I,\,K$ lần lượt vẽ các đường thẳng $EF // BC,\,MN // BC$ $\left( {E,\,M \in AB;\,F,\,N \in AC} \right)$ . Cho biết diện tích của tam giác $ABC$ là $90\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$ . Hãy tính diện tích tứ giác $MNF$ .

A.
$30\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$
B.
$60\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$
C.
$90\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$
D.
$120\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$

Phương pháp giải

Sử dụng hệ quả của định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Ta có $AK = KI = IH$ và $AK + KI + IH = 3.KI = AH$ nên $KI = \frac{1}{3}AH$

Vì $MN // BC$ nên $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ nên $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{3}$ suy ra $MN = \frac{1}{3}BC$

Vì $EF // BC$ nên $\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{AC}}$ nên $\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}$ suy ra $FE = \frac{2}{3}BC$

$MNFE$ có $MN // FE$ và $KI \bot MN$ . Do đó $MNEF$ là hình thang có 2 đáy $MN,\,FE$ , chiều cao $KI$ .

nên ${S_{MNEF}} = \frac{{\left( {MN + FE} \right)KI}}{2} = \frac{{\left( {\frac{1}{3}BC + \frac{2}{3}BC} \right) \cdot \frac{1}{3}AH}}{2} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = 30\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$

Đáp án : A