Cho ΔABC nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ HM⊥AB và HN⊥AC.
a) Chứng minh ΔAMH∽.
b) Chứng minh AN.AC = A{H^2}.
c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh \widehat {AEF} = \widehat {ABC}.
a) Chứng minh \Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)
b) Chứng minh \Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right) suy ra \frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} suy ra AN.AC = A{H^2}.
c) Áp dụng định lý Thales để chứng minh \frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\left( { = \frac{{AD}}{{AN}}} \right)
Chứng minh \Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right) suy ra \widehat {AEF} = \widehat {AHM} mà \widehat {AHM} = \widehat {ABC} nên \widehat {AEF} = \widehat {ABC}.
a) Xét \Delta AMH và \Delta AHB có:
\widehat {AMH} = \widehat {AHB}\left( { = {{90}^0}} \right)
\widehat A chung
suy ra \Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right) (đpcm)
b) Xét \Delta ANH và \Delta AHC có:
\widehat {ANH} = \widehat {AHC}\left( { = {{90}^0}} \right)
\widehat A chung
suy ra \Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)
suy ra \frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} suy ra AN.AC = A{H^2} (đpcm)
c) Vì DF // NM nên \frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AN}}
Vì DE // HN nên \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AD}}{{AN}}
suy ra \frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}
Xét \Delta AFE và \Delta AMH có:
\widehat A chung
\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}
suy ra \Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right) nên \widehat {AEF} = \widehat {AHM}
Mà \widehat {AHM} = \widehat {ABC}(vì \Delta AMH\backsim \Delta AHB)
Do đó \widehat {AEF} = \widehat {ABC} (đpcm)