Cho \(\Delta ABC\) nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ \(HM \bot AB\) và \(HN \bot AC\).
a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$.
b) Chứng minh \(AN.AC = A{H^2}\).
c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).
a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$
b) Chứng minh $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\).
c) Áp dụng định lý Thales để chứng minh \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\left( { = \frac{{AD}}{{AN}}} \right)\)
Chứng minh $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\) mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).
a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có:
\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat A\) chung
suy ra $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$ (đpcm)
b) Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có:
\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat A\) chung
suy ra $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$
suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (đpcm)
c) Vì DF // NM nên \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)
Vì DE // HN nên \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)
suy ra \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)
Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta AMH\) có:
\(\widehat A\) chung
\(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)
suy ra $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ nên \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\)
Mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\)(vì $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$)
Do đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (đpcm)