Cho tam giác ABC vuông tại A AB — Không quảng cáo

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB


Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC).

a) Chứng minh $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$, suy ra \(A{B^2} = BH.BC\).

b) Vẽ \(HE \bot AB\) tại E, \(HF \bot AC\) tại F. Chứng minh \(AB.AE = AC.AF\).

c) Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ACB$.

d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ \(IN \bot BC\) tại N. Chứng minh $\Delta HFN\backsim \Delta HCI$.

Phương pháp giải

a) $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$ (g.g) suy ra tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác.

b) Chứng minh \(AB.AE = AC.AF = A{H^2}\) thông qua chứng minh $\Delta AHE\backsim \Delta ABH$, $\Delta AHF\backsim \Delta ACH$.

c) Dựa vào b ta có tỉ số bằng nhau. Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ACB$ (c.g.c)

d) Chứng minh $\Delta HNI\backsim \Delta HFC\Rightarrow \frac{HN}{HI}=\frac{HF}{HC}$ suy ra $\Delta HFN\backsim \Delta HCI$.

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\widehat B\) chung

\(\widehat H = \widehat A = \left( {{{90}^0}} \right)\)

$\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta CBA\left( g.g \right)$ (đpcm)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\) (đpcm)

b) Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ABH\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat E = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\)

$\Rightarrow \Delta AHE\backsim \Delta ABH\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = A{H^2}\) (1)

Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta ACH\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat F = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\)

$\Delta AHF\backsim \Delta ACH\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AF.AC = A{H^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm)

c) Theo ý b, ta có \(AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (cmt)

$\Rightarrow \Delta AEF\backsim \Delta ACB$ (c.g.c) (đpcm)

d) Xét \(\Delta HNI\) và \(\Delta HFC\) có:

\(\widehat H\) chung

\(\widehat N = \widehat F = \left( {{{90}^0}} \right)\)

$\Rightarrow \Delta HNI\backsim \Delta HFC\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}\)

Xét \(\Delta HFN\) và \(\Delta HCI\) có:

\(\widehat H\) chung

\(\frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}\) (cmt)

$\Rightarrow \Delta HFN\backsim \Delta HCI\left( c.g.c \right)$ (đpcm)