Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. A Giải tam giác

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Giải tam giác vuông biết $AB = 12cm$, $\widehat C = 30^\circ $.

b) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Kẻ AE vuông góc với BK $\left( {E \in BK} \right)$. Chứng minh $E{H^2} = AK.AC$.

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Kẻ MN vuông góc với BC tại N. Chứng minh $AN = BM.\cos C$.

Phương pháp giải

a) Vận dụng các kiến thức về hệ thức lượng và định lí Pythagore trong tam giác vuông để giải tam giác.

b) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật nên AB = HE.

Chứng minh $\Delta ABK\backsim \Delta BCK\left( g.g \right)$ suy ra $A{B^2} = AK.AC$.

Từ đó chứng minh được $H{E^2} = AK.AC$.

c) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta NMC\left( g.g \right)$ suy ra $\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{BC}}$.

Chứng minh $\Delta BMC\backsim \Delta ANC\left( c.g.c \right)$ suy ra $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}$.

Biểu diễn $\cos C$ trong tam giác vuông ABC. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, số đo góc B là:

$\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông vào tam giác ABC, ta có: $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$

suy ra $AC = AB.\tan B = 12.\tan 60^\circ = 12\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông, ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {12\sqrt 3 } \right)}^2}} = 24\left( {cm} \right)$

Vậy $\widehat B = 60^\circ ,AC = 12\sqrt 3 cm,BC = 24cm$.

b) Xét tứ giác AHBE có: $\widehat H = \widehat B = \widehat E\left( { = 90^\circ } \right)$ nên tứ giác AHBE là hình chữ nhật, suy ra AB = HE. (1)

Xét tam giác ABK và tam giác ACB có:

$\widehat {BAK} = \widehat {CAB}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {AKB} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ với $\widehat C$)

suy ra $\Delta ABK\backsim \Delta BCK\left( g.g \right)$

Do đó $\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên $A{B^2} = AK.AC$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $H{E^2} = AK.AC$ (đpcm)

c) Xét tam giác ABC và tam giác NMC có:

$\widehat A = \widehat N\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat C$ chung

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta NMC\left( g.g \right)$.

Do đó $\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{BC}}$.

Xét tam giác BMC và tam giác ANC có:

$\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{BC}}$ (cmt)

$\widehat C$ chung

Suy ra $\Delta BMC\backsim \Delta ANC\left( c.g.c \right)$.

Do đó $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ hay $AN = BM.\frac{{AC}}{{BC}}$.

Trong tam giác vuông ABC, ta có: $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}$.

Từ đó suy ra $AN = BM.\frac{{AC}}{{BC}} = BM.\cos C$. (đpcm)