Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M sao cho AM là phân giác của góc BAC, lấy điểm N và P thuộc AC sao cho MN và MP lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:
a) $\Delta MPC\backsim \Delta ABC$.
b) \(\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}\).
c) \(MP = MB\).
a) Chứng minh tam giác MPC và tam giác ABC đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
b) Dựa vào tính chất đường phân giác trong tam giác suy ra \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Cộng cả hai vế với 1 để suy ra \(\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}\).
c) Kẻ MD vuông góc với AB tại D. Chứng minh \(\Delta MPN = \Delta MBD\left( {ch - gn} \right)\) suy ra \(MP = MB\)
a) Xét \(\Delta MPC\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat {PMC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)
\(\widehat C\) chung
nên $\Delta MPC\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$ (đpcm)
b) Vì AM là tia phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Cộng cả hai vế với 1 ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{BM}}{{MC}} + 1 = \frac{{AB}}{{AC}} + 1\\\frac{{BM + MC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}\\\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}(dpcm)\end{array}\)
c) Kẻ MD vuông góc với AB tại D.
Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta ANM\) có:
\(\widehat D = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat {DAM} = \widehat {NAM}\) (AM là tia phân giác của góc BAC)
AM chung
Suy ra \(\Delta ADM = \Delta ANM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra DM = NM (hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MPN\) có:
\(\widehat D = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)\)
DM = NM (cmt)
\(\widehat {BMD} = \widehat {PMN}\) (cùng phụ với \(\widehat {DMP}\))
Suy ra \(\Delta MBD = \Delta MPN\) (g.c.g)
Suy ra \(MB = MP\) (hai cạnh tương ứng) (đpcm).