Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,M$ là trung điểm của $AC.$ Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $C$ xuống đường thẳng $BM.$ So sánh \(BD + BE\) và $AB.$
-
A.
\(BD + BE > 2AB\)
-
B.
\(BD + BE < 2AB\)
-
C.
\(BD + BE = 2AB\)
-
D.
\(BD + BE < AB\)
- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên
- Sử dụng tính chất của trung điểm
- Chứng minh \(\Delta ADM = \Delta CEM\) (ch - gn)
Vì \(\Delta ABM\) vuông tại $A$ (gt) nên \(BA < BM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Mà \(BM = BD + DM \Rightarrow BA < BD + DM\left( 1 \right)\) .
Mặt khác, \(BM = BE - ME \Rightarrow BA < BE - ME\left( 2 \right)\)
Cộng hai vế của \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(2BA < BD + BE + MD - ME\left( 3 \right)\)
Vì $M$ là trung điểm của $AC$ (gt) \( \Rightarrow AM = MC\) (tính chất trung điểm)
Xét tam giác vuông $ADM$ và tam giác vuông $CEM$ có:
\(AM = MC\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat {AMD} = \widehat {EMC}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta CEM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow MD = ME\left( 4 \right)\) (2 cạnh tương ứng)
Từ \(\left( 3 \right)\)và \(\left( 4 \right) \Rightarrow BD + BE > 2AB\)
Đáp án : A