Cho tam giác ABC vuông tại $A,M$ là trung điểm của $AC.$ — Không quảng cáo

Phương pháp giải

- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên

- Sử dụng tính chất của trung điểm

- Chứng minh $\Delta ADM = \Delta CEM$ (ch - gn)

Vì $\Delta ABM$ vuông tại $A$  (gt) nên $BA < BM$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Mà $BM = BD + DM \Rightarrow BA < BD + DM\left( 1 \right)$ .

Mặt khác, $BM = BE - ME \Rightarrow BA < BE - ME\left( 2 \right)$

Cộng hai vế của $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ ta được: $2BA < BD + BE + MD - ME\left( 3 \right)$

Vì $M$  là trung điểm của $AC$ (gt) $\Rightarrow AM = MC$ (tính chất trung điểm)

Xét  tam giác vuông $ADM$  và tam giác vuông $CEM$  có:

$AM = MC\left( {cmt} \right)$

$\widehat {AMD} = \widehat {EMC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ADM = \Delta CEM$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow MD = ME\left( 4 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

Từ $\left( 3 \right)$và $\left( 4 \right) \Rightarrow BD + BE > 2AB$