Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH. Vẽ HE vuông góc — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác và hệ thức lượng của tam giác vuông để giải.

b) Chứng minh $BE.AB = A{H^2} = B{C^2} - C{H^2}$

c) Chứng minh $\widehat {ABH} = \widehat C$.

Biểu diễn tỉ số lượng giác $\tan ABH$ theo HE và BE.

Từ đó chứng minh $BF = BE.\tan C$.

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{8^2} - {6^2}}  = 2\sqrt 7$ (cm)

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ABC, ta có:

$\sin ACB = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Suy ra $\widehat {ACB} \approx 49^\circ$

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\sin ACB = \frac{{BH}}{{BC}}$ suy ra $\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{3}{4}$

Do đó $BH = \frac{3}{4}BC = \frac{3}{4}.2\sqrt 7  = \frac{{6\sqrt 7 }}{4}$ (cm)

b) Xét tam giác BEH và tam giác BHA có:

$\widehat {BEH} = \widehat {AHB}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat B$ chung

Suy ra $\Delta BEH\backsim \Delta BHA$ (g.g)

Suy ra $\frac{{BE}}{{BH}} = \frac{{BH}}{{AB}}$, do đó $BE.AB = B{H^2}$ (1)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BHC vuông tại H, ta có:

$B{C^2} - H{C^2} = B{H^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BE.BA = B{C^2} - H{C^2}$ (đpcm)

c) Ta có $\widehat {ABH} = \widehat C$ (cùng phụ với $\widehat A$)

Xét tứ giác BEHF có $\widehat B = \widehat E = \widehat H = 90^\circ$ nên tứ giác BEHF là hình chữ nhật, suy ra $HE = BF$.

Xét tam giác BHE, ta có: $\tan HBE = \frac{{EH}}{{EB}}$ suy ra $EH = BE.\tan HBE$

Mà $\widehat {HBE} = \widehat C$ và $HE = BF$ (cmt) nên $BF = BE.\tan C$ (đpcm).