Cho tam giác ABCvuông ở C, có góc A = 60 độ , tia phân giác

Đề bài

Cho $\Delta ABC$ vuông ở $C$ , có $\widehat A = {60^o}$ , tia phân giác của góc $BAC$ cắt $BC$ ở $E$ , kẻ $EK$ vuông góc với $AB$ ( $K$ thuộc $AB$ ), kẻ $BD$ vuông góc với $AE$ ( $D$ thuộc $AE$ )

Chứng minh:

a) $AK{\rm{ }} = {\rm{ }}KB$ ;

b) $AD{\rm{ }} = {\rm{ }}BC$

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tam giác cân và dấu hiệu nhận biết hai tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

a) Ta có:

$\widehat {EAB} = \frac{1}{2}\widehat {.BAC} = \frac{1}{2}{.60^{\rm{o}}} = {30^{\rm{o}}}$ ( $AE$ là phân giác của góc $BAC$ )

$\widehat {ABC} = {90^{\rm{o}}} - \widehat {BAC} = {90^{\rm{o}}} - {60^{\rm{o}}} = {30^o}$ (Vì $\Delta ABC$ vuông tại $C$ )

Suy ra $\widehat {EAB} = \widehat {ABC}$

$\Rightarrow \Delta EAB$ cân tại $E$

Vậy $EA{\rm{ }} = {\rm{ }}EB$

* Xét $\;\Delta EAK$ và $\Delta EBK$ có:

$\widehat {EKA} = \widehat {EKB} = {90^o}$

$EA{\rm{ }} = {\rm{ }}EB$ (chứng minh trên)

$\widehat {EAB} = \widehat {ABC} = {30^o}$

Suy ra $\Delta EAK = \Delta EBK$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy $KA = KB\;$ (2 cạnh tương ứng)

b) Xét $\Delta CAB$ và $\Delta DBA$ có:

$\widehat {ACB} = \widehat {BDA} = {90^o}$

$AB$ chung

$\widehat {ABC} = \widehat {BAD} = {30^o}$

Suy ra $\Delta CAB = \Delta DBA$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy $BC = AD$ (2 cạnh tương ứng)