Cho tam giác DEF cân tại D, đường cao DH. Trên tia đối của — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta DHF = \Delta MHF\) (hai cạnh góc vuông) suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh \(\Delta DHI = \Delta MHI\) (hai cạnh góc vuông) suy ra \(\widehat {DIH} = \widehat {HIM}\) (hai góc tương ứng) suy ra IE là tia phân giác của góc DIM.

c) Chứng minh IH là đường trung tuyến của tam giác DIM và \(IF = \frac{2}{3}IH\) nên F là trọng tâm của tam giác DIM. Do đó MN là đường trung tuyến của tam giác DIM.

a) Xét \(\Delta DHF\) và \(\Delta MHF\) có:

DH = HM

\(\widehat {DHF} = \widehat {MHF}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

HF chung

suy ra \(\Delta DHF = \Delta MHF\) (hai cạnh góc vuông)

suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng). (đpcm)

b) Xét \(\Delta DHI\) và \(\Delta MHI\) có:

\(DH = HM\)

\(\widehat {DHI} = \widehat {MHI}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

HI chung

Suy ra \(\Delta DHI = \Delta MHI\) (hai cạnh góc vuông) suy ra \(\widehat {DIH} = \widehat {HIM}\) (hai góc tương ứng)

Mà IE nằm trong góc DIM suy ra IE là tia phân giác của góc DIM. (đpcm)

c) Vì \(\Delta DHI = \Delta MHI\) nên DI = IM (hai cạnh tương ứng) suy ra tam giác DIM cân tại I.

Mà IH \( \bot \) DH nên IH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Do EH = HF (gt) và EF = FI (gt) nên \(\frac{{IF}}{{HI}} = \frac{{2HF}}{{3HF}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(IF = \frac{2}{3}HI\) hay F là trọng tâm của tam giác DIM.

Chứng minh IH là đường trung tuyến của tam giác DIM và \(IF = \frac{2}{3}IH\) nên F là trọng tâm của tam giác DIM. Do đó MN là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Mà MF cắt DI tại N nên MN là đường trung tuyên của tam giác DIM. (đpcm)