Cho tam giác DEF cân tại D, đường cao DH. Trên tia đối của — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta DHF = \Delta MHF$ (hai cạnh góc vuông) suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh $\Delta DHI = \Delta MHI$ (hai cạnh góc vuông) suy ra $\widehat {DIH} = \widehat {HIM}$ (hai góc tương ứng) suy ra IE là tia phân giác của góc DIM.

c) Chứng minh IH là đường trung tuyến của tam giác DIM và $IF = \frac{2}{3}IH$ nên F là trọng tâm của tam giác DIM. Do đó MN là đường trung tuyến của tam giác DIM.

a) Xét $\Delta DHF$ và $\Delta MHF$ có:

DH = HM

$\widehat {DHF} = \widehat {MHF}\left( { = {{90}^0}} \right)$

HF chung

suy ra $\Delta DHF = \Delta MHF$ (hai cạnh góc vuông)

suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng). (đpcm)

b) Xét $\Delta DHI$ và $\Delta MHI$ có:

$DH = HM$

$\widehat {DHI} = \widehat {MHI}\left( { = {{90}^0}} \right)$

HI chung

Suy ra $\Delta DHI = \Delta MHI$ (hai cạnh góc vuông) suy ra $\widehat {DIH} = \widehat {HIM}$ (hai góc tương ứng)

Mà IE nằm trong góc DIM suy ra IE là tia phân giác của góc DIM. (đpcm)

c) Vì $\Delta DHI = \Delta MHI$ nên DI = IM (hai cạnh tương ứng) suy ra tam giác DIM cân tại I.

Mà IH $\bot$ DH nên IH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Do EH = HF (gt) và EF = FI (gt) nên $\frac{{IF}}{{HI}} = \frac{{2HF}}{{3HF}} = \frac{2}{3}$ suy ra $IF = \frac{2}{3}HI$ hay F là trọng tâm của tam giác DIM.

Chứng minh IH là đường trung tuyến của tam giác DIM và $IF = \frac{2}{3}IH$ nên F là trọng tâm của tam giác DIM. Do đó MN là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Mà MF cắt DI tại N nên MN là đường trung tuyên của tam giác DIM. (đpcm)