Cho tam giác $MNP,$ hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O.$ Tính diện tích tam giác $MNP,$ biết diện tích tam giác $MNO$ là \(12c{m^2}\).
-
A.
$18\,c{m^2}$
-
B.
\(48\,c{m^2}\)
-
C.
\(36\,c{m^2}\)
-
D.
\(24\,c{m^2}\)
+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tìm mối liên hệ giữa các cạnh.
+) Áp dụng công thức tính diện tích của một tam giác.
Gọi $MH$ là đường cao kẻ từ $M$ xuống cạnh $BC,NK$ là đường cao kẻ từ $N$ xuống cạnh $ME.$
Hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trọng tâm tam giác $MNP,$ do đó \(MO = \dfrac{2}{3}ME\).
Có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$ nên $E$ là trung điểm của $NP,$ suy ra $NP = 2.NE$
Ta có:
\(\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow {S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}\)
\(\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}\)
\(\Rightarrow {S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}\) \( \Rightarrow {S_{MNP}} = 3.12 = 36\,c{m^2}\)
Đáp án : C