Cho \(\Delta MNP\)cân tại M \(\left( {\widehat M < {{90}^0}} \right)\). Kẻ NH \( \bot \)MP \(\left( {H \in MP} \right)\), PK \( \bot \)MN \(\left( {K \in MN} \right)\). NH và PK cắt nhau tại E.
a) Chứng minh \(\Delta NHP = \Delta PKN\)
b) Chứng minh \(\Delta \)ENP cân.
c) Chứng minh ME là đường phân giác của góc NMP.
a) Chứng minh \(\Delta NHP = \Delta PKN\) theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn.
b) Chứng minh \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{N_1}}\) nên \(\Delta ENP\) cân.
c) Chứng minh MK = MH.
Chứng minh \(\Delta MEK = \Delta MEH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\).
Do đó ME là đường phân giác của góc NMP.
a) Xét \(\Delta NHP\) và \(\Delta PKN\) vuông tại H và K có:
\(\widehat {NPH} = \widehat {PNK}\) (vì \(\Delta MNP\) cân tại M)
\(NP\) chung
Suy ra \(\Delta NHP = \Delta PKN\) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)
b) Vì \(\Delta NHP = \Delta PKN\)nên \(\widehat {{N_1}} = \widehat {{P_1}}\).
Do đó \(\Delta ENP\) cân tại E (đpcm)
c) Ta có:
\(MK = MN - NK\) (vì K thuộc MN)
\(MH = MP - HP\) (vì H thuộc MP)
Mà \(MN = MP\) (vì \(\Delta MNP\) cân tại M)
\(NK = PH\) (vì \(\Delta NHP = \Delta PKN\))
suy ra \(MK = MH\).
Xét \(\Delta MEK\) và \(\Delta MEH\) vuông tại K và H có:
ME là cạnh chung
MK = MH (cmt)
Suy ra \(\Delta MEK = \Delta MEH\) (ch – cgv)
Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\) suy ra ME là tia phân giác của góc NMP (đpcm)