Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD đôi một vuông góc và BA = BC — Không quảng cáo

a) \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CA} \)

b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA}  =  - 1\)

c) \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD}  =  - \frac{1}{2}\)

d) \(\left( {\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} } \right) = {120^o}\)

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto và lý thuyết các vecto bằng nhau, các vecto đối nhau, góc giữa hai vecto.

a) Đúng. Vì \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BC} \) (luôn đúng)

b) Sai. Vì các vecto \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} \) đôi một vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng 1.

c) Đúng. Gọi M là trung điểm của AD, ta có \(IM = BM = BI = \frac{{DC}}{2}\) nên tam giác BMI đều.

Suy ra \(\widehat {MIB} = {60^o} = \left( {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right) \Rightarrow \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right)\)

\( \Rightarrow  - \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2}\).\(\)

d) Đúng. Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {BI} } \right) = {120^o}\).