Cho tứ diện ABCD có N, P lần lượt là trung điểm của BC, BD. Điểm M là điểm thay đổi trên cạnh AC. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Giả sử AC = kAM. Tìm k để tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Đáp án:
Đáp án:
- Định lý Thales.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song là đường thẳng song song với hai đường thẳng đó.
Xét tam giác BCD có N là trung điểm của BC, P là trung điểm của BD.
Khi đó, NP là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra NP//CD.
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(MNP) \cap (ACD) = \{ M\} }\\\begin{array}{l}NP//CD\\NP \subset (MNP)\\CD \subset (ACD)\end{array}\end{array}} \right.\) nên giao tuyến của (MNP) và (ACD) là đường thẳng qua M song song với NP và CD. Gọi giao tuyến đó là d.
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Q \in (MNP)}\\{Q \in AD \subset (ACD)}\end{array}} \right.\) nên \(Q \in d\) và MQ//NP, MQ//CD.
Vì đã có MQ//NP nên để MNPQ là hình bình hành thì cần điều kiện MQ = NP.
Mà \(NP = \frac{1}{2}CD\) nên cần \(MQ = \frac{1}{2}CD\).
Xét tam giác ACD có \(M \in AC\), \(Q \in AD\) và MQ//CD.
Khi đó, \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MQ}}{{CD}}\) (định lý Thales đảo).
Vậy để MNPQ là hình bình hành thì \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MQ}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow AC = 2AM\).