Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm — Không quảng cáo

Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales.

Xét \(\Delta ACD\) có IJ//CD suy ra \(\frac{{AI}}{{AD}} = \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{1}{2}\) (I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC).

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta AIJ\)ᔕ

\(\Delta ADC\), suy ra \(\frac{{IJ}}{{CD}} = \frac{1}{2}\), tức \(IJ = \frac{1}{2}CD\)   (1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD = (ACD) \cap (BCD)}\\{IJ = (ACD) \cap (IJG)}\\{EF = (IJG) \cap (BCD)}\\{IJ/CD}\end{array}} \right.\). Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: EF//CD//IJ.

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{EF = (IJG) \cap (BCD)}\\\begin{array}{l}G \in (IJG)\\G \in (BCD)\end{array}\end{array}} \right.\) nên E, G, F thẳng hàng.

Xét \(\Delta BCM\) có FG//CM (vì EF//CD) suy ra \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BM}} = \frac{2}{3}\) (vì G là trọng tâm \(\Delta BCD\)).

Xét \(\Delta BCD\) có EF//CD suy ra \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{2}{3}\).

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta BEF\)ᔕ\(\Delta BDC\), suy ra \(\frac{{EF}}{{CD}} = \frac{2}{3}\), tức \(EF = \frac{2}{3}CD\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{IJ}}{{EF}} = \frac{{\frac{1}{2}CD}}{{\frac{2}{3}CD}} = \frac{3}{4} = 0,75\).