Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm — Không quảng cáo

Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales.

Xét $\Delta ACD$ có IJ//CD suy ra $\frac{{AI}}{{AD}} = \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{1}{2}$ (I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC).

Từ đó dễ dàng chứng minh $\Delta AIJ$ᔕ

$\Delta ADC$, suy ra $\frac{{IJ}}{{CD}} = \frac{1}{2}$, tức $IJ = \frac{1}{2}CD$   (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD = (ACD) \cap (BCD)}\\{IJ = (ACD) \cap (IJG)}\\{EF = (IJG) \cap (BCD)}\\{IJ/CD}\end{array}} \right.$. Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: EF//CD//IJ.

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{EF = (IJG) \cap (BCD)}\\\begin{array}{l}G \in (IJG)\\G \in (BCD)\end{array}\end{array}} \right.$ nên E, G, F thẳng hàng.

Xét $\Delta BCM$ có FG//CM (vì EF//CD) suy ra $\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BM}} = \frac{2}{3}$ (vì G là trọng tâm $\Delta BCD$).

Xét $\Delta BCD$ có EF//CD suy ra $\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{2}{3}$.

Từ đó dễ dàng chứng minh $\Delta BEF$ᔕ$\Delta BDC$, suy ra $\frac{{EF}}{{CD}} = \frac{2}{3}$, tức $EF = \frac{2}{3}CD$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{IJ}}{{EF}} = \frac{{\frac{1}{2}CD}}{{\frac{2}{3}CD}} = \frac{3}{4} = 0,75$.