Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho \(MB = 2MC\). Chứng minh rằng MG // (ACD).
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).
Gọi E là trung điểm của BC. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\frac{{GD}}{{ED}} = \frac{2}{3}\)
Mà \(MB = 2MC \Rightarrow 3MC = BC\). Lại có: \(EC = BE = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{MC}}{{EC}} = \frac{2}{3}\)
Tam giác EDC có: \(\frac{{GD}}{{ED}} = \frac{{MC}}{{EC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên MG // CD (định lý Thalès đảo)
Mà \(CD \subset \left( {ACD} \right)\) nên MG // (ACD)