Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng

Dựng \(AH \bot BC \Rightarrow d(A,BC) = AH\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (SBC)\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BC\\ \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot SH\end{array}\)

Xét tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow S{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\\ \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

Ta có: \(SA \bot (SBC) \Rightarrow SA \bot SH \Rightarrow \Delta SAH\)vuông tại S

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta SAH\) vuông tại S ta có:

\(A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \frac{{4{a^2}}}{5} = \frac{{49{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{7a\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án B.