Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC — Không quảng cáo

Xét tam giác ABC:

$AB + BC > AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự, lần lượt các tam giác BCD, CDA, DAB ta có:

$\begin{array}{l}BC + C{{D}} > B{{D}}\\C{{D}} + DA > CA\\DA + AB > DB\end{array}$

Cộng vế với vế ta được các bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l}AB + BC + C{{D}} + C{{D}} + DA + DA + AB > AC + B{{D}} + CA + DB\\ \Leftrightarrow 2\left( {AB + BC + C{{D}} + DA} \right) > 2\left( {AC + B{{D}}} \right)\\ \Leftrightarrow AB + BC + C{{D}} + DA > AC + B{{D}}\end{array}$

Mà: $AC + B{{D}} = OA + OC + OB + O{{D}}$ (hệ thức cộng đoạn thẳng)

$\Leftrightarrow OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA$

Vậy ta có: $OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA$