Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng:
-
A.
\(OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA\)
-
B.
\(OA + OB + OC + O{{D}} > AB + BC + C{{D}} + DA\)
-
C.
\(OA + OB + OC + O{{D}} < \frac{1}{2}\left( {AB + BC + C{{D}} + DA} \right)\)
-
D.
\(OA - OB + OC - O{{D}} > AB + BC + C{{D}} + DA\)
Xét tam giác ABC:
\(AB + BC > AC\) (bất đẳng thức tam giác)
Tương tự, lần lượt các tam giác BCD, CDA, DAB ta có:
\(\begin{array}{l}BC + C{{D}} > B{{D}}\\C{{D}} + DA > CA\\DA + AB > DB\end{array}\)
Cộng vế với vế ta được các bất đẳng thức trên ta được:
\(\begin{array}{l}AB + BC + C{{D}} + C{{D}} + DA + DA + AB > AC + B{{D}} + CA + DB\\ \Leftrightarrow 2\left( {AB + BC + C{{D}} + DA} \right) > 2\left( {AC + B{{D}}} \right)\\ \Leftrightarrow AB + BC + C{{D}} + DA > AC + B{{D}}\end{array}\)
Mà: \(AC + B{{D}} = OA + OC + OB + O{{D}}\) (hệ thức cộng đoạn thẳng)
\( \Leftrightarrow OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA\)
Vậy ta có: \(OA + OB + OC + O{{D}} < AB + BC + C{{D}} + DA\)
Đáp án : A