Cho x,y thỏa mãn x2+2xy+6x+6y+2y2+8=0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=x+y+2024.
Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương.
Dựa vào kiến thức A.B≤0 thì A và B trái dấu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.
Ta có: x2+2xy+6x+6y+2y2+8=0
(x2+2xy+y2)+6(x+y)+9+y2−1=0
(x+y)2+6(x+y)+9−1=−y2
(x+y+3)2−1=−y2
(x+y+3−1)(x+y+3+1)=−y2
(x+y+2)(x+y+4)=−y2
(x+y+2024−2022)(x+y+2024−2020)=−y2
(P−2022)(P−2020)=−y2
(P−2022)(P−2020)=−y2
Mà y2≥0 nên −y2≤0 với mọi y
Do đó (P−2022)(P−2020)≤0 (∗)
Lại có (P−2020)−2<P−2020 hay P−2022<P−2020
Suy ra (∗) xảy ra khi P−2022≤0≤P−2020
Nên 2020≤P≤2022
Vậy GTLN của P bằng 2022 khi {x+y+2=0−y2=0, tức {x=−2y=0;
GTNN của P bằng 2020 khi {x+y+4=0−y2=0, tức {x=−4y=0.