Cho \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + 2024.\)
Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương.
Dựa vào kiến thức \(A.B \le 0\) thì A và B trái dấu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.
Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)
\(\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + 9 + {y^2} - 1 = 0\)
\({\left( {x + y} \right)^2} + 6\left( {x + y} \right) + 9 - 1 = - {y^2}\)
\({\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) = - {y^2}\)
Mà \({y^2} \ge 0\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)
Do đó \(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\) \(\left( * \right)\)
Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)
Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)
Nên \(2020 \le P \le 2022\)
Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right.\);
GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 0\end{array} \right.\).