Processing math: 100%

Cho x,y thỏa mãn x^2 + 2xy + 6x + 6y + 2y^2 + 8 = 0. Tìm — Không quảng cáo

Cho x,y thỏa mãn x2+2xy+6x+6y+2y2+8=0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P


Đề bài

Cho x,y thỏa mãn x2+2xy+6x+6y+2y2+8=0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=x+y+2024.

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương.

Dựa vào kiến thức A.B0 thì A và B trái dấu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.

Ta có: x2+2xy+6x+6y+2y2+8=0

(x2+2xy+y2)+6(x+y)+9+y21=0

(x+y)2+6(x+y)+91=y2

(x+y+3)21=y2

(x+y+31)(x+y+3+1)=y2

(x+y+2)(x+y+4)=y2

(x+y+20242022)(x+y+20242020)=y2

(P2022)(P2020)=y2

(P2022)(P2020)=y2

Mà y20 nên y20 với mọi y

Do đó (P2022)(P2020)0 ()

Lại có (P2020)2<P2020 hay P2022<P2020

Suy ra () xảy ra khi P20220P2020

Nên 2020P2022

Vậy GTLN của P bằng 2022 khi {x+y+2=0y2=0, tức {x=2y=0;

GTNN của P bằng 2020 khi {x+y+4=0y2=0, tức {x=4y=0.