Cho x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện:
4x2+2y2+2z2−4xy−4xz+2yz−6y−10z+34=0.
Tính giá trị của biểu thức S=(x−4)2023+(y−4)2025+(z−4)2027.
Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương để tính x, y, z.
Từ đó thay giá trị của x, y, z vào S để tính giá trị biểu thức.
Ta có: 4x2+2y2+2z2−4xy−4xz+2yz−6y−10z+34=0
4x2−4x(y+z)+(y2+2yz+z2)+z2−6y−10z+34=0
[4x2−4x(y+z)+(y+z)2]+(y2−6y+9)+(z2−10z+25)=0
(2x−y−z)2+(y−3)2+(z−5)2=0(∗)
Với mọi x,y,z ta có: (2x−y−z)2≥0,(y−3)2≥0,(z−5)2≥0
Do đó (∗) xảy ra khi và chỉ khi {(2x−y−z)2=0(y−3)2=0(z−5)2=0
Hay {2x−y−z=0y−3=0z−5=0, tức là {x=4y=3z=5
Khi đó S=(4−4)2023+(3−4)2025+(5−4)2027=0−1+1=0.