Chứng minh rằng A = 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 +. . . + 1/3^2022 +

Đề bài

Chứng minh rằng $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2022}}}} + \frac{1}{{{3^{2023}}}} < \frac{1}{2}$

Phương pháp giải

Nhân cả hai vế của A với 3.

Tính 2A.

Suy ra giá trị của A, so sánh với $\frac{1}{2}$ .

Ta có:

$3A = 3.\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2022}}}} + \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right) = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2021}}}} + \frac{1}{{{3^{2022}}}}$

Suy ra

$\begin{array}{l}3A - A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2021}}}} + \frac{1}{{{3^{2022}}}} - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2022}}}} + \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right)\\2A = 1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}}\end{array}$

Do đó $A = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right)$ .

Mà $1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}} < 1$ nên $A = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right) < \frac{1}{2}.1 = \frac{1}{2}$ hay $A < \frac{1}{2}$ .