Chứng minh rằng A = 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 +. . . + 1/3^2022 + — Không quảng cáo

Chứng minh rằng \(A = \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + + \frac{1}{{{3^{2022}}}} + \frac{1}{{{3^{2023}}}}

Đề bài

Chứng minh rằng \(A = \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2022}}}} + \frac{1}{{{3^{2023}}}} < \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải

Nhân cả hai vế của A với 3.

Tính 2A.

Suy ra giá trị của A, so sánh với \(\frac{1}{2}\).

Ta có:

\(3A = 3.\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2022}}}} + \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right) = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2021}}}} + \frac{1}{{{3^{2022}}}}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}3A - A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2021}}}} + \frac{1}{{{3^{2022}}}} - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2022}}}} + \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right)\\2A = 1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}}\end{array}\)

Do đó \(A = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right)\).

Mà \(1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}} < 1\) nên \(A = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{2023}}}}} \right) < \frac{1}{2}.1 = \frac{1}{2}\) hay \(A < \frac{1}{2}\).