Chứng minh rằng A = 20^20 + 20^21 + 20^22 + 20^23 +. . . . . +

Đề bài

Chứng minh rằng $A = {20^{20}} + {20^{21}} + {20^{22}} + {20^{23}} + ..... + {20^{70}} + {20^{71}}$ chia hết cho 21.

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng.

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {{{20}^{20}} + {{20}^{21}}} \right) + \left( {{{20}^{22}} + {{20}^{23}}} \right) + ..... + \left( {{{20}^{70}} + {{20}^{71}}} \right)\\ = {20^{20}}\left( {1 + 20} \right) + {20^{22}}\left( {1 + 20} \right) + ..... + {20^{70}}\left( {1 + 20} \right)\\ = 21\left( {{{20}^{20}} + {{20}^{22}} + ... + {{20}^{70}}} \right)\end{array}$

Vì $21 \vdots 21$ nên $21\left( {{{20}^{20}} + {{20}^{22}} + ... + {{20}^{70}}} \right) \vdots 21$ hay $A \vdots 21$ .

Vậy $A$ chia hết cho 21.