Chứng minh rằng dãy số un = 1/1. 2 + 1/2. 3 + 1/3. 4 + ldots — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng: Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${u_{n + 1}} > {u_n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn trên: Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \le M$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Ta có: ${u_n} = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} +  \ldots  + \frac{{(n + 1) - n}}{{n(n + 1)}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +  \ldots  + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}$

Xét hiệu: ${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} - \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ tăng

Nhận thấy ${u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên.