Chứng minh rằng: Nếu x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by — Không quảng cáo

Chứng minh rằng Nếu \(x = by + cz\) \(y = ax + cz\) \(z = ax + by\) và \(x + y + z \ne 0\) thì \(\frac{1}{{1 +


Đề bài

Chứng minh rằng:

Nếu \(x = by + cz\); \(y = ax + cz\); \(z = ax + by\) và \(x + y + z \ne 0\) thì \(\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\).

Phương pháp giải

Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{1}{{1 + a}}\) với x; \(\frac{1}{{1 + b}}\) với y; \(\frac{1}{{1 + c}}\) với z sau đó thay \(x = by + cz\); \(y = ax + cz\); \(z = ax + by\) để biến đổi vế trái thành vế phải.

Ta có: \(VT = \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}\)

\( = \frac{x}{{x\left( {1 + a} \right)}} + \frac{y}{{y\left( {1 + b} \right)}} + \frac{z}{{z\left( {1 + c} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{x}{{x + ax}} + \frac{y}{{y + by}} + \frac{z}{{z + cz}}\\ = \frac{{by + cz}}{{by + cz + ax}} + \frac{{ax + cz}}{{ax + cz + by}} + \frac{{ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{by + cz + ax + cz + ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2ax + 2by + 2cz}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2\left( {ax + by + cz} \right)}}{{ax + by + cz}}\\ = 2 = VP\end{array}\)

Vậy \(\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\) (đpcm).