Chứng minh rằng: Nếu x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{1}{{1 + a}}$ với x; $\frac{1}{{1 + b}}$ với y; $\frac{1}{{1 + c}}$ với z sau đó thay $x = by + cz$; $y = ax + cz$; $z = ax + by$ để biến đổi vế trái thành vế phải.

Ta có: $VT = \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}$

$= \frac{x}{{x\left( {1 + a} \right)}} + \frac{y}{{y\left( {1 + b} \right)}} + \frac{z}{{z\left( {1 + c} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \frac{x}{{x + ax}} + \frac{y}{{y + by}} + \frac{z}{{z + cz}}\\ = \frac{{by + cz}}{{by + cz + ax}} + \frac{{ax + cz}}{{ax + cz + by}} + \frac{{ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{by + cz + ax + cz + ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2ax + 2by + 2cz}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2\left( {ax + by + cz} \right)}}{{ax + by + cz}}\\ = 2 = VP\end{array}$

Vậy $\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2$ (đpcm).