Chứng minh rằng:
Nếu \(x = by + cz\); \(y = ax + cz\); \(z = ax + by\) và \(x + y + z \ne 0\) thì \(\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\).
Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{1}{{1 + a}}\) với x; \(\frac{1}{{1 + b}}\) với y; \(\frac{1}{{1 + c}}\) với z sau đó thay \(x = by + cz\); \(y = ax + cz\); \(z = ax + by\) để biến đổi vế trái thành vế phải.
Ta có: \(VT = \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}\)
\( = \frac{x}{{x\left( {1 + a} \right)}} + \frac{y}{{y\left( {1 + b} \right)}} + \frac{z}{{z\left( {1 + c} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{x}{{x + ax}} + \frac{y}{{y + by}} + \frac{z}{{z + cz}}\\ = \frac{{by + cz}}{{by + cz + ax}} + \frac{{ax + cz}}{{ax + cz + by}} + \frac{{ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{by + cz + ax + cz + ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2ax + 2by + 2cz}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2\left( {ax + by + cz} \right)}}{{ax + by + cz}}\\ = 2 = VP\end{array}\)
Vậy \(\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\) (đpcm).