1. Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 5 m và 3 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm. Tính độ cao ℎ của điểm đó so với mặt đất.
2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh ΔABE∽
b) Đường thẳng qua E song song với AB, cắt đoạn CH tại D. Chứng minh H{E^2} = HD.HC.
1. - Theo đề bài vẽ lại hình và đặt tên các điểm.
- Chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra các tỉ số đồng dạng để tính độ cao của h.
2. a) Chứng minh \Delta ABE\backsim \Delta ACF theo trường hợp góc – góc.
b) Chứng minh \Delta HED\backsim \Delta HCE suy ra tỉ số đồng dạng, ta được điều phải chứng minh.
1.
Ta có: AB // CD nên \widehat {BAC} = \widehat {DCA} và \widehat {ABD} = \widehat {CDB} (hai góc so le trong)
Xét \Delta ABE và \Delta CDE có:
\begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\\\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\end{array}
Suy ra \Delta ABE\backsim \Delta CDE (gg)
Suy ra \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{3}{5}
Suy ra \frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}
Xét \Delta CFE và \Delta CBA có:
\widehat C chung
\widehat {ABC} = \widehat {EFC}
suy ra \Delta CFE\backsim \Delta CBA (g.g)
suy ra \frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}. Do đó EF = \frac{3}{8}.AB = \frac{3}{8}.5 = \frac{{15}}{8} (m)
2.
a) Xét \Delta ABE và \Delta ACF có:
\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = {90^0}
\widehat A chung
suy ra \Delta ABE\backsim \Delta ACF (g.g) (đpcm)
b) Ta có DE // AB nên \widehat {HED} = \widehat {ABE} (hai góc so le trong)
\widehat {ACF} = \widehat {ABE} (do \Delta ABE\backsim \Delta ACF)
suy ra \widehat {ACF} = \widehat {HED}
Xét \Delta HED và \Delta HCE có:
\widehat H chung
\widehat {ACF} = \widehat {HED}
suy ra \Delta HED\backsim \Delta HCE (g.g)
suy ra \frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HE}} hay H{E^2} = HD.HC (đpcm)