Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} - 2}}{{x + 1}}{\rm{ khi }}x \ne - 1\\0{\rm{ khi }}x = - 1\end{array} \right.\) tại \(x = - 1\) là:
-
A.
0
-
B.
Không tồn tại.
-
C.
\( - \frac{1}{4}\)
-
D.
\(\frac{1}{2}\)
Sử dụng Định nghĩa đạo hàm :
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) hoặc \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
\(\begin{array}{l}f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x - ( - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\frac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} - 2}}{{x + 1}} - 0}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 4 - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}(\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}(\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x({x^2} + 2x + 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}(\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{x}{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2}} = \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)
Đáp án C.
Đáp án : C