Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,01%. Nếu một người mắc bệnh thì xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là 90%, nếu một người không mắc bệnh thì xác suất cho kết quả dương tính là 5%. Khi một người xét nghiệm có kết quả dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu phần trăm?
-
A.
0,01%.
-
B.
4,9995%.
-
C.
0,1797%.
-
D.
0,001%.
Gọi tên các biến cố, áp dụng công thức Bayes.
Gọi biến cố M: “Người đó mắc bệnh”;
D: “Người đó xét nghiệm dương tính”.
Ta có P(M)=0,01%=0,0001⇒P(¯M)=1−0,0001=0,9999.
Trong số những người không mắc bệnh nhưng có 5% số người có xét nghiệm dương tính
nên P(D|¯M)=5%=0,05.
Nếu một người mắc bệnh thì xác suất xét nghiệm cao cho kết quả dương tính là 90% nên
P(D|M)=90%=0,9.
Khi một người xét nghiệm có kết quả dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là
P(M|D). Áp dụng công thức Bayes ta có
P(M|D)=P(M)⋅P(D|M)P(M)⋅P(D|M)+P(¯M)⋅P(D|¯M)=0,0001⋅0,90,0001⋅0,9+0,9999⋅0,05=0,1797%.
Đáp án : C