Đề bài
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right)\) đạt tại \(x = b\) . Khi đó, căn bậc hai số học của \(b\) là
-
A.
\(4\) .
-
B.
\( \pm 4\) .
-
C.
\(0\) .
-
D.
\(16\) .
Phương pháp giải
Sử dụng hai hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) đưa biểu thức \(Q\) về dạng \(m{x^2} + n\) rồi đánh giá: \(m{x^2} + n \ge m\left( {m{x^2} \ge 0\forall x} \right)\) (chú ý đổi dấu để được hằng đẳng thức cần dùng).
Dấu = xảy ra khi \(x = 0\) .
Nhớ lại căn bậc hai số học của một số không âm \(a\) có dạng \(\sqrt a \) .
Ta có
\(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 + 9{x^2} + 6x + 1 + 18{x^2} + 14 = 36{x^2} + 16 \ge 16\left( {{x^2} \ge 0 \Rightarrow 36{x^2} \ge 0} \right)\)
Dấu = xảy ra khi \(x = 0\), suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \(16\) khi \(x = 0 \Rightarrow b = 0\) .
Vậy căn bậc hai số học của 0 là 0.
Đáp án : C