Giải bài 3 trang 115 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G . Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC, AB .

Ta có: G là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác ABC .

Mà G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên AM, BN, CP là các đường trung trực của tam giác ABC hay \(AM \bot BC;BN \bot AC;CP \bot AB\).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AM chung;

\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} (= 90^\circ \))(vì \(AM \bot BC\));

BM = MC ( M là trung điểm của BC ).

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACM\)(c.g.c). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng) . (1)

Tương tự ta có:

\(\Delta BNA = \Delta BNC\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng) . (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC .

Vậy tam giác ABC đều.