Giải bài 3 trang 115 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh diều
Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Đề bài
Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G . Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tam giác ABC đều bằng cách chứng minh AB = BC = CA .
Lời giải chi tiết
Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC, AB .
Ta có: G là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác ABC .
Mà G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên AM, BN, CP là các đường trung trực của tam giác ABC hay AM⊥BC;BN⊥AC;CP⊥AB.
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AM chung;
^AMB=^AMC(=90∘)(vì AM⊥BC);
BM = MC ( M là trung điểm của BC ).
Vậy ΔABM=ΔACM(c.g.c). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng) . (1)
Tương tự ta có:
ΔBNA=ΔBNC(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng) . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC .
Vậy tam giác ABC đều.