Giải Bài 4 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ \(BE \bot AN\)(E ∈ AN).
a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của giác ABN.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của BH với CE. Chứng minh rằng NK // CA.
c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta chứng minh \(\widehat {ABE} = \widehat {NBE}\) bằng cách chứng minh 2 tam giác BAF và BNF bằng nhau .
b) Ta chứng minh NK song song với CA do có 2 góc so le trong bằng nhau
c) Ta chứng minh góc BGC bằng góc BCG
Lời giải chi tiết
a) Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta BNE\) có :
BA = BN (giả thiết)
BF cạnh chung
\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)
\( \Rightarrow \Delta BAE = \Delta BNE\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {NBF}\)(góc tương ứng)
\( \Rightarrow \) BE là phân giác của góc ABN
b) Vì K là giao của 2 đường cao \( \Rightarrow \)K là trực tâm tam giác ABN
\( \Rightarrow \) KN vuông góc với AB(1)
Vì CA vuông góc với AB ( tam giác ABC vuông tại A)(2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) KN song song với CA (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)
c) Ta có \(\Delta BAF = \Delta BNF(c - g - c)\)do có :
\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)
BF cạnh chung
BN = BA
\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF}\) (2 góc tương ứng).
Mà \(\widehat {BAF} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF} = {90^o}\)
\( \Rightarrow GN \bot BC\)
Ta có CA và GN là 2 đường cao của tam giác GBC
\( \Rightarrow \)F là trực tâm của tam giác GBC
\( \Rightarrow \)BF vuông góc với GC tại P
Xét \(\Delta BGP\) và \(\Delta BCP\) ta có :
BP cạnh chung
\(\widehat {BPC} = \widehat {BPG} = {90^o}\)
\(\widehat {PBC} = \widehat {PBG}\)
\( \Rightarrow \Delta BGP = \Delta BCP(c - g - c)\)
\( \Rightarrow BC = BG\)(2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \)Tam giác GBC cân tại B