Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ uv là một số dương? Là một số âm? Khi nào thì (u.v)^2 = u^2. v^2? Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} ) theo a,b,c.
Câu hỏi 1
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ →u,→v là một số dương? Là một số âm?
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng của hai vectơ →u,→v: →u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v)
Nhận xét: →u.→v cùng dấu với cos(→u,→v)
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy: →u.→v cùng dấu với cos(→u,→v) (do |→u|.|→v|>0). Do đó:
+) →u.→v>0 ⇔cos(→u,→v)>0 hay 0o≤(→u,→v)<90o
+) →u.→v<0 ⇔cos(→u,→v)<0 hay 90o<(→u,→v)≤180o
Vậy →u.→v>0 nếu 0o≤(→u,→v)<90o và →u.→v<0 nếu 90o<(→u,→v)≤180o.
Câu hỏi 2
Khi nào thì (→u.→v)2=(→u)2.(→v)2?
Phương pháp giải:
+) →u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v)
+) →u2=|→u|2 với mọi vectơ →u
Lời giải chi tiết:
(→u.→v)2=(→u)2.(→v)2⇔[|→u|.|→v|.cos(→u,→v)]2=|→u|2.|→v|2
⇔[cos(→u,→v)]2=1⇔[cos(→u,→v)=1cos(→u,→v)=−1
⇔[(→u,→v)=0o(→u,→v)=180o
Hay hai vectơ →u,→v cùng phương.
Vậy hai vectơ →u,→v cùng phương thì (→u.→v)2=(→u)2.(→v)2
Luyện tập 2
Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính →AB.→AC theo a,b,c.
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng: →u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v)
Lời giải chi tiết:
Ta có: →AB.→AC=|→AB|.|→AC|.cos(→AB,→AC)
Mà (→AB,→AC)=^BAC⇒cos(→AB,→AC)=cos^BAC
Lại có: cos^BAC=b2+c2−a22bc(suy ra từ định lí cosin)
⇒→AB.→AC=AB.AC.b2+c2−a22bc⇔→AB.→AC=c.b.b2+c2−a22bc⇔→AB.→AC=b2+c2−a22