Giải mục 3 trang 56, 57, 58, 59 Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Trong không gian cho điểm A và hai mặt phẳng hình chiếu đứng, hình chiếu bằng (P1), (P2)
Hoạt động 3
Trong không gian cho điểm A và hai mặt phẳng hình chiếu đứng, hình chiếu bằng (P 1 ), (P 2 ) cắt nhau theo giao tuyến Ox. Gọi A 1 và A 2 lần lượt là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A (H.3.11a). Quay mặt phẳng (P 2 ) quanh Ox sao cho (P 2 ) trùng với (P 1 ). Khi đó hai điểm A 1 và A 2 cùng thuộc mặt phẳng (P 1 ) (H.3.11b).
a) Nhận xét vị trí của các điểm A 1 , A 2 đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A 1 A 2 có vuông góc với Ox hay không?
b) Hãy trình bày cách xác định điểm A khi biết các điểm A 1 , A 2 trong mặt phẳng (P 1 ).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 3.11 để trả lời
Lời giải chi tiết:
a) Điểm A 1 và điểm A 2 nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A 1 A 2 có vuông góc với Ox.
b) Ta có: A 1 M = AA 2 (do tứ giác A 1 MA 2 A là hình chữ nhật).
Từ A 2 kẻ đường thẳng A 2 A bằng đường thẳng A 1 M (A thuộc A 1 A 2 ). Ta xác định được điểm A.
Luyện tập 4
Trong Hình 3.13, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?
Phương pháp giải:
Hình chiếu đứng (hướng chiếu từ mặt trước ra sau), hình chiếu cạnh (hướng chiếu từ trái sang), hình chiếu bằng (hướng chiếu từ trên nhìn xuống).
Lời giải chi tiết:
Nếu A 1 và A 2 là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng A 1 A 2 vuông góc với Ox. Do đó Hình 3.13c thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.
Hoạt động 4
Trong HĐ2, gọi (P 3 ) là mặt phẳng hình chiếu cạnh và A 3 là hình chiếu cạnh của A. Gọi Oz là giao tuyến của (P 1 ) và (P 3 ), Oy là giao tuyến của (P 2 ) và (P 3 ). Quay mặt phẳng (P 2 ) quanh Ox sao cho (P 2 ) trùng với (P 1 ) và quay mặt phẳng (P 3 ) quanh Oz sao cho (P 3 ) trùng với (P 1 ), khi đó ba điểm A 1 , A 2 , A 3 cùng thuộc mặt phẳng (P 1 ) (H.3.14).
a) Đường thẳng A 1 A 3 có vuông góc với đường thẳng Oz hay không? Khoảng cách từ A 3 đến Oz có bằng khoảng cách từ A 2 đến Ox hay không?
b) Trong mặt phẳng (P 1 ), trình bày cách xác định điểm A 3 khi biết hai điểm A 1 , A 2 .
Phương pháp giải:
Quan sát hình 3.14 để trả lời
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng A 1 A 3 có vuông góc với đường thẳng Oz. Khoảng cách từ A 3 đến Oz bằng khoảng cách từ A 2 đến Ox.
b) Ta có A 1 A 2 vuông góc với Ox nên gọi giao điểm của A 1 A 2 với Ox là M.
Từ A 1 kẻ đường thẳng song song với Ox và vuông góc với Oz. Gọi giao điểm của đường thẳng kẻ từ A 1 với Oz là P.
Khoảng cách từ A 3 đến Oz bằng khoảng cách từ A 2 đến Ox hay A 2 M = A 3 P. Từ P kẻ A 3 P sao cho A 1 , P, A 3 thẳng hàng theo thứ tự và A 2 M = A 3 P.
Luyện tập 5
Hình 3.16 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng AB trong không gian. Xác định hình chiếu bằng của đoạn thẳng đó
Phương pháp giải:
Hình chiếu đứng (hướng chiếu từ mặt trước ra sau), hình chiếu cạnh (hướng chiếu từ trái sang), hình chiếu bằng (hướng chiếu từ trên nhìn xuống).
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu bằng A 2 của A và hình chiếu bằng B 2 của B.
+ Để xác định A 2 ta làm như sau:
- Qua điểm A 3 vẽ đường thẳng vuông góc với Ox tại D và trên tia đối của tia Oz lấy điểm F sao cho OD = OF.
- Vẽ đường thẳng qua A 1 vuông góc với Ox, vẽ đường thẳng qua F vuông góc với Oz, hai đường thẳng này cắt nhau tại A 2 .
+ Tương tự xác định B 2 .
+ Nối A 2 và B 2 ta nhận được hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB.
Vận dụng 2
Dựa vào mối liên hệ giữa ba hình chiếu, giải thích cách bố trí các hình chiếu trên bản vẽ kĩ thuật. Vì sao đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu?
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức đã học để trả lời
Lời giải chi tiết:
Đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu vì từ hai hình chiếu cho trước ta có thể xác định được hình chiếu các đoạn thẳng thuộc hình chiếu còn lại từ hình chiếu các đoạn thẳng ở hai hình chiếu cho trước.