Giải phương trình: \({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x - {\log _{0,5}}\left( {{2^{x + 1}} - 3} \right)\).
Nếu \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Điều kiện:
\({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x - {\log _{0,5}}\left( {{2^{x + 1}} - 3} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x + {\log _2}\left( {{2^{x + 1}} - 3} \right) \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2} + 4}}{{{{2.2}^x} - 3}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2} + 4}}{{{{2.2}^x} - 3}} = {2^x} \Rightarrow {2^x}\left( {{{2.2}^x} - 3} \right) = {\left( {{2^x}} \right)^2} + 4 \Rightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {3.2^x} - 4 = 0\) (*)
Đặt \({2^x} = t\left( {t > 0} \right)\) thì phương trình (*) trở thành: \({t^2} - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\left( L \right)\\t = 4\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 4\) thì \({2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = 2\).