Giữa hai điểm B và C bị ngăn cách bởi hồ nước như hình

Đề bài

1. Giữa hai điểm $B$ và $C$ bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài $BC$ mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng $KI$ dài $30m$ và $K$ là trung điểm của $AB$ , $I$ là trung điểm của $AC$ .

2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường trung tuyến $AM$ . Gọi $H$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AB$ , $E$ là giao điểm của $MH$ và $AB$ . Gọi $K$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AC$ , $F$ là giao điểm của $MK$ và $AC$ .

a) Các tứ giác $AEMF$ , $AMBH$ , $AMCK$ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng $H$ đối xứng với $K$ qua $A$ .

c) Tam giác vuông $ABC$ cần thêm điều kiện gì thì tứ giác $AEMF$ là hình vuông?

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác.

a) Tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật. Các tứ giác $AMBH$ , $AMCK$ là hình thoi.

b) Theo a) suy ra $HA\parallel BC$ , $AK\parallel MC$ $\Rightarrow$ $H$ , $A$ , $K$ thẳng hàng. Lại có $AH = AM = AK$ $\Rightarrow$ $H$ , $K$ đối xứng với nhau qua $A$ .

c) Để hình chữ nhật $AEMF$ là hình vuông thì cần thêm điều kiện $AE = EM$ . $\Rightarrow$ $AB = AC$ . Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ .

Vì K là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC nên KI là đường trung bình của tam giác ABC => KI // BC và KI = $\frac{1}{2}$ BC.

Vì KI = 30 m nên BC = 2.KI = 2.30 = 60 m.

Vậy BC = 60 m.

a) Ta có: $H$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AB$ , $E$ là giao điểm của $MH$ và $AB$ => $AB \bot HM$ ( $\widehat E = {90^0}$ ) và HE = EM.

$K$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AC$ , $F$ là giao điểm của $MK$ và $AC$ => $AC \bot MK$ ( $\widehat F = {90^0}$ ) và MF = FK.

Tứ giác AEMF có: $\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}$ (cmt) nên AEMF là hình chữ nhật (đpcm). Suy ra ME // AF; MF // AE.

Ta có: M là trung điểm của BC (vì AM là đường trung tuyến), ME // AC (cmt); MF // AE (cmt) => ME và MF là đường trung bình của tam giác ABC. => ME = $\frac{1}{2}$ AC; MF = $\frac{1}{2}$ AB. (1)

Mà ME = AF; MF = AE (vì AEMF là hình chữ nhật) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = EB = $\frac{1}{2}$ AB; AF = FC = $\frac{1}{2}$ AC.

Xét tứ giác AMBH có: AE = EB; HE = EM và $AB \bot HM$ tại E nên AMBH là hình thoi (đpcm).

Tương tự, tứ giác AMCK có: AF = FC; MF = FK và $AC \bot MK$ tại F nên AMCK là hình thoi (đpcm).

b) Xét tứ giác BHKC có: BH // CK và BH = CK (cùng song song và bằng AM) nên BHKC là hình bình hành => BC // HK.

Vì AMBH và AMCK là hình thoi nên HA // BM, HA = BM; AK // CM, AK = CM.

Ta có BC // HK, BC // HA; BC // AK (cmt) => H, A, K thẳng hàng.

Mà AH = AK = BM = MC (vì M là trung điểm của BC) nên H đối xứng với K qua A.

c) Để AEMF là hình vuông thì AE = AF $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC$ hay AB = AC $\Leftrightarrow$ tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy để AEMF là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác cân.