Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi — Không quảng cáo

Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình\(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó \(t > 0\) với \(t\)


Đề bài

Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình\(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó \(t > 0\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(s\) tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất.

Phương pháp giải

Phương trình vận tốc và gia tốc của chất điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right)\\a\left( t \right) = v'\left( t \right)\end{array} \right.\)

Gọi \(v\left( t \right)\), \(a\left( t \right)\) lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm.

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 10\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5\end{array} \right.\).

Mà \(a\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi \(t\), dấu “\( = \)” xảy ra khi chỉ khi \(t = 1\).

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng \(2\) khi \(t = 1\).

Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là

\(v\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^3} - 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 13\) \(\left( {m/\,s} \right)\).

Đáp án

13 \(\left( {m/\,s} \right)\)