Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Gọi hai cạnh của miếng đất là x, y.

Sử dụng bất đẳng thức: $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$.

* Chứng minh bất đẳng thức $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$ hay ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0$ với mọi a, b.

Vậy $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$.

* Áp dụng bất đẳng thức trên để giải.

Gọi hai cạnh của miếng đất lần lượt là x, y (m). ($0 < x,y < 800$)

Vì chu vi của mảnh đất là 800m nên ta có: $2\left( {x + y} \right) = 800$ hay $x + y = 800$.

Diện tích đất canh tác là $xy$.

Ta có: $xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \le \frac{{{{400}^2}}}{4} = 40000\left( {{m^2}} \right)$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của xy. Khi đó kích thước của mảnh đất thỏa mãn $x + y = 400$ và $xy = 40000$.

Ta có $x + y = 400$ nên $y = 400 - x$.

Thay vào $xy = 40000$, ta được:

$\begin{array}{l}\left( {400 - x} \right)x = 40000\\ - {x^2} + 400x - 40000 = 0\\{x^2} - 400x + 40000 = 0\\{\left( {x - 200} \right)^2} = 0\\x = 200\end{array}$

Khi đó $y = 400 - 200 = 200$.

Vậy người đó phải chọn mảnh đất có kích thước 200m x 200m để diện tích đất canh tác là lớn nhất.