Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết rằng người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800 m. Hỏi anh ta phải chọn mảnh đất có kích thước như thế nào để diện tích đất canh tác là lớn nhất.
(HD: Sử dụng bất đẳng thức \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\) ).
Gọi hai cạnh của miếng đất là x, y.
Sử dụng bất đẳng thức: \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\).
* Chứng minh bất đẳng thức \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\) hay \({\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0\)
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0\) với mọi a, b.
Vậy \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\).
* Áp dụng bất đẳng thức trên để giải.
Gọi hai cạnh của miếng đất lần lượt là x, y (m). (\(0 < x,y < 800\))
Vì chu vi của mảnh đất là 800m nên ta có: \(2\left( {x + y} \right) = 800\) hay \(x + y = 800\).
Diện tích đất canh tác là \(xy\).
Ta có: \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \le \frac{{{{400}^2}}}{4} = 40000\left( {{m^2}} \right)\).
Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của xy. Khi đó kích thước của mảnh đất thỏa mãn \(x + y = 400\) và \(xy = 40000\).
Ta có \(x + y = 400\) nên \(y = 400 - x\).
Thay vào \(xy = 40000\), ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {400 - x} \right)x = 40000\\ - {x^2} + 400x - 40000 = 0\\{x^2} - 400x + 40000 = 0\\{\left( {x - 200} \right)^2} = 0\\x = 200\end{array}\)
Khi đó \(y = 400 - 200 = 200\).
Vậy người đó phải chọn mảnh đất có kích thước 200m x 200m để diện tích đất canh tác là lớn nhất.