So sánh S với 2, biết S = 1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ldots + — Không quảng cáo

So sánh S với 2, biết \(S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

Đề bài

So sánh S với 2, biết \(S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} +  \ldots  + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\).

Phương pháp giải

Nhân hai vế của S với 2 để rút gọn S.

\(S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} +  \ldots  + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(2S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} +  \ldots  + \frac{{2023}}{{{2^{2022}}}}\)

\(2S - S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \frac{1}{{{2^{2022}}}} - \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \frac{1}{{{2^{2022}}}} - \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(2S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{{2023}}{{{2^{2022}}}}\)

\(2S - S = 2 - \frac{{2024}}{{{2^{2022}}}} + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(S = 2 - \frac{{4048 - 2023}}{{{2^{2023}}}}\)

Vậy \(S < 2\).