Tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60 độ , BD là phân — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Chứng minh \(\Delta ABC\, \backsim \,\Delta ADB\) ( g – g ) suy ra tỉ số các cạnh từ đó tính độ dài của cạnh BD.

\(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

Vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat B\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = 30^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADB\) có: \(\widehat {ACB} = \widehat {ABD} = 30^\circ \); \(\widehat A\) chung

Nên \(\Delta ABC \backsim \Delta ADB\) ( g – g ) \( \Rightarrow \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow BD = \frac{{AB.BC}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \), \(\widehat C = 30^\circ \) nên \(\Delta ABC\) là nửa tam giác đều \( \Rightarrow BC = 2AB\).

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ABC\) có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow {\left( {2AB} \right)^2} = A{B^2} + {18^2} \Leftrightarrow 3A{B^2} = 324 \Leftrightarrow AB = \sqrt {108} \,{\rm{cm}}\).

\( \Rightarrow BC = 2\sqrt {108} \,{\rm{cm}}\). Từ đó \(BD = \frac{{AB.BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {108} .2\sqrt {108} }}{{18}} = 12\,({\rm{cm)}}\).