Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức công thức: ${\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1$

Ta có: $y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1 = 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x + 1 =  - 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 3$ (1)

Đặt $\sin x = t$. Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$ nên $t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]$.

Thay $\sin x = t$ vào (1) ta có: $y =  - 2{t^2} + 5t + 3$ với $t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]$

Ta có bảng:

Từ bảng ta có:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$ là 6 khi $t = 1$ hay $x = \frac{\pi }{2}$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$ là 5 khi $t = \frac{1}{2}$ hay $x = \frac{{5\pi }}{6}$