Tìm n thuộc tập N để biểu thức A = n^2 + 10^2 - 36n^2 có — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

Ta có: $A = {({n^2} + 10)^2} - 36{n^2} = ({n^2} + 10 - 6n)({n^2} + 10 + 6n)$

Để A là số nguyên tố thì A chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

$A = ({n^2} + 10 - 6n)({n^2} + 10 + 6n)$ có ước là 1 và chính nó khi và chỉ khi ${n^2} + 10 - 6n = 1$ hoặc ${n^2} + 10 + 6n = 1$.

Trường hợp 1. Với ${n^2} + 10 - 6n = 1$, ta có:

$\begin{array}{l}{n^2} + 10 - 6n = 1\\{n^2} - 6n + 9 = 0\\{\left( {n - 3} \right)^2} = 0\\n = 3\,(tm)\end{array}$

Khi đó $A = 1.\left( {{3^2} + 10 + 6.3} \right) = 37$

Trường hợp 2. Với ${n^2} + 10 + 6n = 1$, ta có:

$\begin{array}{l}{n^2} + 10 + 6n = 1\\{n^2} + 6n + 9 = 0\\{\left( {n + 3} \right)^2} = 0\end{array}$

$n =  - 3$ (không thỏa mãn vì $n \in \mathbb{N}$).

Vậy n = 3 thì biểu thức $A = {({n^2} + 10)^2} - 36{n^2}$ có giá trị là một số nguyên tố.