Tìm \(x,y,z\) biết: \(\sqrt {{{(x - 2024)}^2}} + \left| {x + y - 4z} \right| + {y^2}.\sqrt 5 = 0\) với \(x,y,z \in \mathbb{R}\).
Dựa vào tính chất của giá trị tuyệt đối, bình phương của một số.
Vì \({y^2} \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\) và \(\sqrt 5 > 0\) nên \({y^2}.\sqrt 5 \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\) .
Ta có: \(\sqrt {{{(x - 2024)}^2}} = \left| {x - 2024} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(\left| {x + y - 4z} \right| \ge 0\) với mọi \(x,y,z \in \mathbb{R}\) và \({y^2}.\sqrt 5 \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\)
nên \(\sqrt {{{(x - 2024)}^2}} + \left| {x + y - 4z} \right| + {y^2}.\sqrt 5 \ge 0\) với mọi \(x,y,z \in \mathbb{R}\).
Theo đề bài, ta có \(\sqrt {{{(x - 2024)}^2}} + \left| {x + y - 4z} \right| + {y^2}.\sqrt 5 = 0\) hay \(\left| {x - 2024} \right| + \left| {x + y - 4z} \right| + {y^2}.\sqrt 5 = 0\).
Giá trị của biểu thức bằng 0 khi
\(\begin{array}{l}\left| {x - 2024} \right| = 0\\\left| {x + y - 4z} \right| = 0\\{y^2}.\sqrt 5 = 0\end{array}\)
Với \(\left| {x - 2024} \right| = 0\) thì \(x - 2024 = 0\), suy ra \(x = 2024\);
Với \({y^2}.\sqrt 5 = 0\) (do \(\sqrt 5 \ne 0\)) nên \({y^2} = 0\), suy ra \(y = 0\).
Thay \(x = 2024\); \(y = 0\) vào \(\left| {x + y - 4z} \right| = 0\) hay \(x + y - 4z = 0\), ta được
\(2024 + 0 - 4z = 0\) suy ra \(4z = 2024\), do đó \(z = 2024:4 = 506\).
Vậy \(x = 2024;y = 0;z = 506\).