Tính giá trị biểu thức P = căn bậc 3 9 + căn 80 ^2023. 3 — Không quảng cáo

Phương pháp giải

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) nếu n là số lẻ.

Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

\( \Rightarrow {x^3} = 9 + \sqrt {80}  + 3{\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^2}\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}{\left( {\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^2} + 9 - \sqrt {80} \)

\( = 18 + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)\)

\( = 18 + 3x\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 18 + 3x\)

Do đó, \({x^3} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 3\) (do \({x^2} + 3x + 6 = {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) với mọi số thực x)

Suy ra: \(3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

Ta có: \(P = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2024}} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^{2024}}\)

\( = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = \left( {\sqrt[3]{1}} \right)\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)